Berechnung - Goldener Schnitt

Wie berechnet man den Goldenen Schnitt?

Auf dieser Seite wird dir erklärt, wie du dir die Formel zur Berechnung des goldenen Schnittes herleiten kannst.

Erklärung per YouTube Video

In diesem Video erklärt die MathePeter sehr anschaulich wie du den Goldenen Schnitt berechnen kannst.

Erklärung per Text

Eine Strecke ${\overline {AB}}$ der Länge $s$ wird durch einen inneren Punkt $T$ so geteilt, dass das Verhältnis der Länge $a$ des größeren Teilabschnitts $\overline {AT}$ zur Länge $b$ des kleineren Teilabschnitts ${\overline {TB}}$ dem Verhältnis der gesamten Streckenlänge $s=a+b$ zur Länge $a$ des größeren Teilabschnitts gleich ist. Es gilt somit ${\overline {AB}}:{\overline {AT}}={\overline {AT}}:{\overline {TB}}$ beziehungsweise $(a+b):a=a:b$ . Diese Teilung heißt Goldener Schnitt der Strecke ${\overline {AB}}$ . Man spricht dann davon, dass der Punkt $T$ die Strecke ${\overline {AB}}$ im Goldenen Schnitt teilt, oder auch von der stetigen Teilung der Strecke ${\overline {AB}}$ durch den Punkt $T$ . Das Verhältnis $a:b$ der Streckenabschnitte $\overline {AT}$ und ${\overline {TB}}$ wird Goldene Zahl genannt.

Eine einfache Rechnung zeigt:

\Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887

Wird eine Strecke $s$ im Goldenen Schnitt geteilt, so gilt für den längeren Abschnitt

a={\frac {s}{\Phi }}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}s=(\Phi -1)s\approx 0{,}618s

und für den kürzeren

b=s-{\frac {s}{\Phi }}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}s\approx 0{,}382s

b={\frac {s}{\Phi ^{2}}}={\frac {4}{6+2{\sqrt {5}}}}s\approx 0{,}382s.

Die Goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch eine algebraische Zahl vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Ferner ist sie besonders schlecht durch Brüche approximierbar. Aus diesem Grund wird sie in der Literatur gelegentlich auch als irrationalste Zahl bezeichnet. Diese Eigenschaft wird im Abschnitt Approximationseigenschaften der Goldenen Zahl genauer erläutert.